CÁLCULO DE PREDICADOS

Insuficiencia de la lógica de proposiciones en las representaciones de la lógica de sentido común
La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se les representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados.
La lógica de predicados está basada en la idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado.
Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.
Concepto y ejemplos de calculo de predicados.
La lógica de predicados determina los elementos del razonamiento de los pequeños elementos de las proposiciones. Véase la figura No. 18.
Predicado
(org1, org2, ... orgn)
Nombre
del
Predicado
Nombre
del
Argumento
Figura No. 19 Componentes que forman un predicado
Donde el nombre del predicado identifica a la relación que existe entre los argumentos, entre paréntesis o bien identifica a la propiedad o características que tienen los argumentos en el paréntesis, o bien identifica al nombre de la clase a la que pertenecen los argumentos.
Ejemplo
María y Pablo son hermanos
Juana es la madre de María
Tom es un gato
LA suma de 2 y 3 es 5
Por ejemplo, para expresar "Juana es madre de María", se selecciona un identificador, digamos "madre", para expresar el predicado "es la madre", y se escribe madre(Juana,María). Muchos estudiosos de la lógica sólo utilizan letras individuales para los nombres de predicados y de constantes, ejemplo M(j,m).
Los cuatro grupos básicos de identidad
Y Ù
O Ú
No Ø
Implicación(Entonces) Þ
Básicamente los operadores utilizados en el calculo de predicados son los mismos que se utilizan en el calculo proposicional. No obstante, véanse los siguientes ejemplos de utilización de los operadores básicos.
Ejemplos de operadores
CIENTÍFICO(CARLOS_MARX) Ù ALEMAN(CARLOS_MARX) (Y)
Carlos Marx es un científico alemán
CIENCIA(LÓGICA)Ú DISCIPLINA(LÓGICA) (O)
La lógica es ciencia o disciplina
DEPORTE(CICLISMO ) Ù ¬DECONJUNTO(CICLISMO) (No)
El ciclismo no es un deporte de conjunto.
CULTURA(LA_CIENCIA) Þ APOYAR(LA_CIENCIA) (Sí...entonces)
Si la ciencia es cultura entonces debe apoyarse
La declaración de función, variables y cuantificadores
Función
Asumiendo que un conjunto es una determinada colección de entidades, tenemos que entre conjuntos cabe establecer relaciones. Una relación entre dos conjuntos tiene una dirección, va de un conjunto al que llamaremos origen a otro conjunto que llamamos imagen. Para ciertas relaciones el conjunto origen y el conjunto imagen coinciden, son el mismo conjunto. Pues bien, una función es una relación entre dos conjuntos que satisface la condición de que a cada entidad del conjunto origen le corresponde una única entidad del conjunto imagen.
Las entidades del conjunto origen de una función son denominadas "argumentos de la función". Las entidades del conjunto imagen que corresponden a los argumentos de una función son denominados: valores de la función. El conjunto de los argumentos de una función coincide con el conjunto origen de una función. El conjunto de los argumentos de una función también se denomina "dominio de la función" en cuestión. El conjunto de los argumentos de valores o rango de una función no tiene por qué coincidir con el conjunto imagen, pudiendo ser un subconjunto imagen.
En resumen los argumentos pueden ser constantes, variables o a su vez otra función. Los identificadores de funciones los representaremos con letras minúsculas, a continuación un paréntesis izquierdo, luego los argumentos o parámetros separados por comas, si va más de uno y finalizando con un paréntesis derecho.
Ejemplo:
- madre(x): La madre de x, siendo x una variable
- jugo(UVA): Jugo de uva, donde UVA es una constante
- refresco(jugo(NARANJA)): refresco de jugo de naranja
Variables
Las variables son identificadores las cuales representarán un elemento de un conjunto, pero, sin representar uno en específico, como en el caso de las constantes. Sus identificadores los representaremos por medio de cadenas en letras minúsculas. Por ejemplo: guerrillero, fruta, país, asignatura, x, y, z, etc.
Como se podrá verificar el ejemplo anterior, se dará cuenta como es la sintaxis para la utilización de variables en la elaboración de predicados. Chequense estos ejemplos, muy parecidos al anterior.
fruta(x) animal(x) color(x)
Mejor a un, ejemplifiquemos esto como una proposición:
Fruta(x):-colores(color),formas(forma),sabores(dulce).
Donde x, color y forma cumplen la misma función, estas están desempeñando el papel de variables, a excepción de sabores; ya que esta ya no se considera como variable por el hecho de tener un valor definido. Por ende a este tipo de identificadores se les denomina "constantes".
Cuantificadores
En matemáticas, muchas afirmaciones son de la forma "todos los elementos de D (un dominio dado) satisfacen el predicado P(x)" o bien "hay al menos un elemento de D que satisface P(x)".
En el primer caso, abreviaremos usando el símbolo y en el segundo usando el símbolo . Así, si P(x) es un predicado q que depende sólo de x, tenemos:
Si se reemplaza x por cualquier elemento de D, entonces P(x) se hace verdadera.
En D hay al menos un valor tal que, al reemplazar x por dicho valor, la proposición resultante es verdadera.
Los símbolos y son llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente.
Ejemplos del cuantificador universal:
" x OSO(x) Þ ANIMAL(x): Los osos son animales.
" x ANIMAL(x) Þ CEREBRO(cerebro(x)): Todos los animales tienen un cerebro. Para todo x que es un animal implica que el cerebro de x es un CEREBRO.
Ejemplos del cuantificador existencial:
$ x SABROSA(x): Que significará que algo es sabroso o que existe al menos una x tal que x es sabrosa.
$ x DEPORTE(x) Ù DECONJUNTO(x): Algunos deportes son de conjunto.
$ x ELECCIONES(x) Ù Ø LIMPIAS(x): Las elecciones no son limpias.


Variables Ligadas

Cuando un cuantificador es usado sobre la variable x o cuando nosotros asignamos un valor a esta variable, decimos que esta ocurrencia de la variable esta ligada. Una ocurrencia de una variable que no esta ligada por un cuantificador o igualada a un valor particular se dice que es libre. Todas las variables que ocurren en una función proposicional deben estar ligadas para tornarla en una proposición. Esto se puede realizar usando una combinación de cuantificadores universales, existenciales y asignación de valores.
La parte de una expresión lógica para la cual un cuantificador es aplicado es llamado el alcance de este cuantificador. Consecuentemente, una variable es libre si esta fuera del alcance de todos los cuantificadores en la formula que especifican esta variable.
Negaciones

Usualmente deseamos considerar la negación de una expresión cuantificada. Por ejemplo, considere la negación de la declaración: “cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo” o ¥x P (x). Donde P (x) es la declaración “x ha tomado un curso de calculo”.
La negación de esta declaración es:
“no es el caso que cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo” o “hay un estudiante en la clase quien no ha tomado un curso de calculo”.
En esta ultima declaración se ve que es simplemente la cuantificación existencial de la
negación de la función proposicional original. Es decir Ǝx ~ ­­P (x).

Considere la negación de la declaración:
“hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo” o Ǝx P (x). Donde P (x) es la declaración “x ha tomado un curso de calculo”.
La negación de esta declaración es:
“no es el caso que hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo” o “cada estudiante en la clase no ha tomado un curso de calculo”.
En esta ultima declaración se ve que es simplemente la cuantificación universal de la
negación de la función proposicional. Es decir ¥x ~ P (x).