jueves, 31 de enero de 2008
CALCULO PROPOSICIONAL
El cálculo proposicional es también llamado, lógica proposicional, calculo sentencial, álgebra Booleana. El cálculo proposicional, junta dos cálculos de predicados con la constitución de símbolos lógicos.
La Lógica Matemática surge como una disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la lógica del razonamiento matemático humano (y actualmente también de otras formas de razonamiento.) Requiere de expresar la lógica en términos susceptibles de ser representados y manejados por un computador.
Proposiciones
Proposiciones
Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo". Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.
Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.
Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.
Proposiciones simples o hechos
Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:
1. El cielo es azul
2. La nieve es fría
3. 12*12=144
4. Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana
5. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945
Las siguientes proposiciones simples son falsas:
1. Honda hace televisiones
2. El General Fidel Castro es un Demócrata
3. 8+99=231
4. Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis
5. Atenas es la capital de Italia
Las siguientes son proposiciones no validas:
1. Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque "Él" no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.
2. Esta declaración es una mentira-> No es una proposición porque "Esta" no esta definida como una declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaración.
3. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.
4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es también un valor de hecho y expresa un concepto filosófico el cual no es verificable.
5. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una ética, idea religiosa o dogma. No es una proposición.
6. ¿Por que el Soccer no es más popular que el Básquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaración. Simplemente hace una pregunta.
7. 12 + x = 16-> No es una proposición porque "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposición.
8. Al Pacino era un buen actor-> No es una proposición. Esta sentencia expresa una opinión; es subjetivo.
Proposiciones compuestas
Las proposiciones son expresadas a través de variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La función principal de los operadores es la de formar una nueva proposición de una o más proposiciones. Así las declaraciones compuestas o proposiciones son formadas.
Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo". Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.
Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.
Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.
Proposiciones simples o hechos
Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:
1. El cielo es azul
2. La nieve es fría
3. 12*12=144
4. Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana
5. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945
Las siguientes proposiciones simples son falsas:
1. Honda hace televisiones
2. El General Fidel Castro es un Demócrata
3. 8+99=231
4. Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis
5. Atenas es la capital de Italia
Las siguientes son proposiciones no validas:
1. Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque "Él" no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.
2. Esta declaración es una mentira-> No es una proposición porque "Esta" no esta definida como una declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaración.
3. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.
4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es también un valor de hecho y expresa un concepto filosófico el cual no es verificable.
5. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una ética, idea religiosa o dogma. No es una proposición.
6. ¿Por que el Soccer no es más popular que el Básquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaración. Simplemente hace una pregunta.
7. 12 + x = 16-> No es una proposición porque "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposición.
8. Al Pacino era un buen actor-> No es una proposición. Esta sentencia expresa una opinión; es subjetivo.
Proposiciones compuestas
Las proposiciones son expresadas a través de variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La función principal de los operadores es la de formar una nueva proposición de una o más proposiciones. Así las declaraciones compuestas o proposiciones son formadas.
Conectores
La negación es la inversa de los valores de verdad de una declaración como se muestra en la figura
Conjunción
Cuando conjugamos dos declaraciones, tiene el sentido de afirmar que son simultáneamente verdaderas. Por ejemplo, al decir que "Londres es la capital de Inglaterra y Cuba es una isla,".
El conector funciona indicando que las dos proposiciones conjuntadas son verdaderas, de modo que si p es la proposición "Londres es capital de Inglaterra" y q es la proposición "Cuba es una isla", la conjunción de ambas proposiciones se representará de la siguiente manera:
La disyunción tiene la función de enlazar dos proposiciones, indicando que al menos una de ellas es verdadera (aunque pueden serlo ambas también); supongamos el siguiente ejemplo, si p es la proposición "3 es un número primo" y q es la proposición "3 es un número natural". La proposición compuesta indica que cuando menos una de las proposiciones simples es verdadera.
Condicional
Al relacionarse dos proposiciones con este conector es muy importante distinguir la que queda a
la izquierda (a la que se le llama antecedente), de la que queda a la derecha (que se llama consecuente).
la izquierda (a la que se le llama antecedente), de la que queda a la derecha (que se llama consecuente).
verdad de ambas es el mismo, ya sea verdadero o falso. Así, p« q es una proposición que significa que si p es verdadera, entonces q también es verdadera y si q es verdadera, entonces p también es verdadera. En realidad la conectiva Bicondicional es la conjunción (Ù ) de dos proposiciones condiciones (si...entonces). es decir, la proposición p« q tiene el mismo sentido que la proposición
Tablas de Verdad
Construcción de una tabla de verdad con 3 variables
1.- Primero se construye la fórmula y a su izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado.
2.- Para conocer el número de renglones se aplica la fórmula , siendo "n" el número de variables. En este caso = , o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazando pues ocho renglones.
3.- Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta completar el número de renglones (en este caso ocho). La siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo dos veces V y dos veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente columna se forma escribiendo cuatro veces V y cuatro veces F.
4.- Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los más interiores. El último conectivo en ser calculado es el que esté fuera de todo paréntesis.
5.- Ejemplo:
1.- Primero se construye la fórmula y a su izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado.
2.- Para conocer el número de renglones se aplica la fórmula , siendo "n" el número de variables. En este caso = , o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazando pues ocho renglones.
3.- Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta completar el número de renglones (en este caso ocho). La siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo dos veces V y dos veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente columna se forma escribiendo cuatro veces V y cuatro veces F.
4.- Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los más interiores. El último conectivo en ser calculado es el que esté fuera de todo paréntesis.
5.- Ejemplo:
Tautología, contradicción e incongruencia
Tautología
Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La proposición tautológica o tautología es siempre verdadera por su forma lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples. Véase la figura No. 8
Contradicción
Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples.
Puesto que la negación invierte los valores de verdad de una proposición, al negar una tautología obtenemos una contradicción, y viceversa; al negar una contradicción obtenemos una tautología. Véase el ejemplo de la figura No. 9.
Incongruencia
Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples. Considérese el ejemplo de la figura No. 10.
Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La proposición tautológica o tautología es siempre verdadera por su forma lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples. Véase la figura No. 8
Contradicción
Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples.
Puesto que la negación invierte los valores de verdad de una proposición, al negar una tautología obtenemos una contradicción, y viceversa; al negar una contradicción obtenemos una tautología. Véase el ejemplo de la figura No. 9.
Incongruencia
Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples. Considérese el ejemplo de la figura No. 10.
La Heurística
La Heurística realiza un proceso de descubrimiento (deducción), contrario al proceso lógico deductivo. Se aplica siempre a proposiciones de la forma A entonces B, donde se aplica un proceso deductivo de A hacia B, suponiendo A pero empezando desde Bn. Los procesos serían:
1) Suponer A, analizando su significado y contenido
2) Analizar B, su significado y contenido que es a lo que se quiere llegar
3) Reducir el problema obteniendo alguna afirmación B1, de modo que B sea consecuencia o más fácil de descubrir a partir de B1.
4) Posiblemente con A obtengamos B2 y siguiendo el paso 3 obtenemos B.
5) Reducir el problema y obtener B2 de modo que B1 sea consecuencia de correcta de B2.
6) Posiblemente con A obtengamos B2 entonces por el paso 5 obtenemos B1 y siguiendo el paso 3 obtenemos B. Sino:
7) Reducir….
1) Suponer A, analizando su significado y contenido
2) Analizar B, su significado y contenido que es a lo que se quiere llegar
3) Reducir el problema obteniendo alguna afirmación B1, de modo que B sea consecuencia o más fácil de descubrir a partir de B1.
4) Posiblemente con A obtengamos B2 y siguiendo el paso 3 obtenemos B.
5) Reducir el problema y obtener B2 de modo que B1 sea consecuencia de correcta de B2.
6) Posiblemente con A obtengamos B2 entonces por el paso 5 obtenemos B1 y siguiendo el paso 3 obtenemos B. Sino:
7) Reducir….
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