jueves, 31 de enero de 2008
CALCULO PROPOSICIONAL
El cálculo proposicional es también llamado, lógica proposicional, calculo sentencial, álgebra Booleana. El cálculo proposicional, junta dos cálculos de predicados con la constitución de símbolos lógicos.
La Lógica Matemática surge como una disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la lógica del razonamiento matemático humano (y actualmente también de otras formas de razonamiento.) Requiere de expresar la lógica en términos susceptibles de ser representados y manejados por un computador.
Proposiciones
Proposiciones
Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo". Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.
Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.
Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.
Proposiciones simples o hechos
Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:
1. El cielo es azul
2. La nieve es fría
3. 12*12=144
4. Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana
5. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945
Las siguientes proposiciones simples son falsas:
1. Honda hace televisiones
2. El General Fidel Castro es un Demócrata
3. 8+99=231
4. Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis
5. Atenas es la capital de Italia
Las siguientes son proposiciones no validas:
1. Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque "Él" no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.
2. Esta declaración es una mentira-> No es una proposición porque "Esta" no esta definida como una declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaración.
3. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.
4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es también un valor de hecho y expresa un concepto filosófico el cual no es verificable.
5. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una ética, idea religiosa o dogma. No es una proposición.
6. ¿Por que el Soccer no es más popular que el Básquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaración. Simplemente hace una pregunta.
7. 12 + x = 16-> No es una proposición porque "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposición.
8. Al Pacino era un buen actor-> No es una proposición. Esta sentencia expresa una opinión; es subjetivo.
Proposiciones compuestas
Las proposiciones son expresadas a través de variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La función principal de los operadores es la de formar una nueva proposición de una o más proposiciones. Así las declaraciones compuestas o proposiciones son formadas.
Las proposiciones son definidas, apenas "como un pensamiento completo". Para nuestro propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia.
Las proposiciones son una sentencia declarativa, o reglas las cuales tienen valores de verdad, una proposición puede tener dos valores, verdadero o falso. Pero no ambos (verdadero y falso) y tampoco pueden no tomar ningún valor. Una proposición es un hecho. Los argumentos de las proposiciones son: premisas y conclusiones de una proposición. Las proposiciones son portadoras de veracidad y falsedad.
Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o variables de sentencias o variables proposicionales, p, q, r, s,..., para expresar proposiciones.
Proposiciones simples o hechos
Las siguientes son proposiciones simples las cuales son verdaderas:
1. El cielo es azul
2. La nieve es fría
3. 12*12=144
4. Vicente Fox es el presidente de la Republica Mexicana
5. La Segunda Guerra Mundial duro desde 1939 hasta 1945
Las siguientes proposiciones simples son falsas:
1. Honda hace televisiones
2. El General Fidel Castro es un Demócrata
3. 8+99=231
4. Los Insectos crean su comida a través de fotosíntesis
5. Atenas es la capital de Italia
Las siguientes son proposiciones no validas:
1. Él es un vendedor-> Esta no es una proposición porque "Él" no esta definido. Como un resultado no hay manera de verificar la sentencia y asignarle un valor de verdad.
2. Esta declaración es una mentira-> No es una proposición porque "Esta" no esta definida como una declaración. No hay referencia y como en otros ejemplos no podemos asignar un valor de verdadero o falso a la declaración.
3. Las cosas buenas vienen en pequeños paquetes - > Este tipo de declaración expresa una idea subjetiva o concepto el cual no puede ser verificado en términos de verdadero o falso.
4. La verdad es que no hay verdad-> Esta es también un valor de hecho y expresa un concepto filosófico el cual no es verificable.
5. Dios es bueno-> Este es un valor de hecho y expresa una ética, idea religiosa o dogma. No es una proposición.
6. ¿Por que el Soccer no es más popular que el Básquetbol en Estados Unidos?-> Esta no es una declaración. Simplemente hace una pregunta.
7. 12 + x = 16-> No es una proposición porque "x" es una variable indefinida, al menos que a x se le asignen valores, hasta entonces se puede verificar el valor de verdad o falsedad de la proposición.
8. Al Pacino era un buen actor-> No es una proposición. Esta sentencia expresa una opinión; es subjetivo.
Proposiciones compuestas
Las proposiciones son expresadas a través de variables (p, q, r, s). Conectivos lógicos y operadores establecen relaciones entre dos o más proposiciones. La función principal de los operadores es la de formar una nueva proposición de una o más proposiciones. Así las declaraciones compuestas o proposiciones son formadas.
Conectores
La negación es la inversa de los valores de verdad de una declaración como se muestra en la figura
Conjunción
Cuando conjugamos dos declaraciones, tiene el sentido de afirmar que son simultáneamente verdaderas. Por ejemplo, al decir que "Londres es la capital de Inglaterra y Cuba es una isla,".
El conector funciona indicando que las dos proposiciones conjuntadas son verdaderas, de modo que si p es la proposición "Londres es capital de Inglaterra" y q es la proposición "Cuba es una isla", la conjunción de ambas proposiciones se representará de la siguiente manera:
La disyunción tiene la función de enlazar dos proposiciones, indicando que al menos una de ellas es verdadera (aunque pueden serlo ambas también); supongamos el siguiente ejemplo, si p es la proposición "3 es un número primo" y q es la proposición "3 es un número natural". La proposición compuesta indica que cuando menos una de las proposiciones simples es verdadera.
Condicional
Al relacionarse dos proposiciones con este conector es muy importante distinguir la que queda a
la izquierda (a la que se le llama antecedente), de la que queda a la derecha (que se llama consecuente).
la izquierda (a la que se le llama antecedente), de la que queda a la derecha (que se llama consecuente).
verdad de ambas es el mismo, ya sea verdadero o falso. Así, p« q es una proposición que significa que si p es verdadera, entonces q también es verdadera y si q es verdadera, entonces p también es verdadera. En realidad la conectiva Bicondicional es la conjunción (Ù ) de dos proposiciones condiciones (si...entonces). es decir, la proposición p« q tiene el mismo sentido que la proposición
Tablas de Verdad
Construcción de una tabla de verdad con 3 variables
1.- Primero se construye la fórmula y a su izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado.
2.- Para conocer el número de renglones se aplica la fórmula , siendo "n" el número de variables. En este caso = , o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazando pues ocho renglones.
3.- Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta completar el número de renglones (en este caso ocho). La siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo dos veces V y dos veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente columna se forma escribiendo cuatro veces V y cuatro veces F.
4.- Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los más interiores. El último conectivo en ser calculado es el que esté fuera de todo paréntesis.
5.- Ejemplo:
1.- Primero se construye la fórmula y a su izquierda las variables (letras) que en ella entran. De esta manera ya se tiene el encabezado.
2.- Para conocer el número de renglones se aplica la fórmula , siendo "n" el número de variables. En este caso = , o sea. 2 x 2 x 2 = 8. Trazando pues ocho renglones.
3.- Debajo de cada una de las variables de la izquierda (p, q, r) se escribe una columna de valores. Empezando por la derecha anotando una V y una F, una V y una F, etc., hasta completar el número de renglones (en este caso ocho). La siguiente columna a la izquierda se forma escribiendo dos veces V y dos veces F, etc., hasta llenar los renglones. La siguiente columna se forma escribiendo cuatro veces V y cuatro veces F.
4.- Para calcular los valores de los conectivos se aplica la regla respectiva y se empieza por los más interiores. El último conectivo en ser calculado es el que esté fuera de todo paréntesis.
5.- Ejemplo:
Tautología, contradicción e incongruencia
Tautología
Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La proposición tautológica o tautología es siempre verdadera por su forma lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples. Véase la figura No. 8
Contradicción
Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples.
Puesto que la negación invierte los valores de verdad de una proposición, al negar una tautología obtenemos una contradicción, y viceversa; al negar una contradicción obtenemos una tautología. Véase el ejemplo de la figura No. 9.
Incongruencia
Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples. Considérese el ejemplo de la figura No. 10.
Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. La proposición tautológica o tautología es siempre verdadera por su forma lógica, es decir, por la forma en que se relacionan sus proposiciones simples. Véase la figura No. 8
Contradicción
Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples.
Puesto que la negación invierte los valores de verdad de una proposición, al negar una tautología obtenemos una contradicción, y viceversa; al negar una contradicción obtenemos una tautología. Véase el ejemplo de la figura No. 9.
Incongruencia
Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Son proposiciones de las que tenemos que determinar las combinaciones de los valores de verdad que las hacen verdadera o falsa y, por ello, su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples. Considérese el ejemplo de la figura No. 10.
La Heurística
La Heurística realiza un proceso de descubrimiento (deducción), contrario al proceso lógico deductivo. Se aplica siempre a proposiciones de la forma A entonces B, donde se aplica un proceso deductivo de A hacia B, suponiendo A pero empezando desde Bn. Los procesos serían:
1) Suponer A, analizando su significado y contenido
2) Analizar B, su significado y contenido que es a lo que se quiere llegar
3) Reducir el problema obteniendo alguna afirmación B1, de modo que B sea consecuencia o más fácil de descubrir a partir de B1.
4) Posiblemente con A obtengamos B2 y siguiendo el paso 3 obtenemos B.
5) Reducir el problema y obtener B2 de modo que B1 sea consecuencia de correcta de B2.
6) Posiblemente con A obtengamos B2 entonces por el paso 5 obtenemos B1 y siguiendo el paso 3 obtenemos B. Sino:
7) Reducir….
1) Suponer A, analizando su significado y contenido
2) Analizar B, su significado y contenido que es a lo que se quiere llegar
3) Reducir el problema obteniendo alguna afirmación B1, de modo que B sea consecuencia o más fácil de descubrir a partir de B1.
4) Posiblemente con A obtengamos B2 y siguiendo el paso 3 obtenemos B.
5) Reducir el problema y obtener B2 de modo que B1 sea consecuencia de correcta de B2.
6) Posiblemente con A obtengamos B2 entonces por el paso 5 obtenemos B1 y siguiendo el paso 3 obtenemos B. Sino:
7) Reducir….
Analisis de Argumentos
Un argumento es un conjunto finito y ordenado de afirmaciones de las cuales se dice que la última, llamada conclusión , se sigue de las anteriores, llamadas premisas.
Un argumento es correcto si y solo si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas; esto quiere decir que cada interpretación del lenguaje respecto a la cual todas las premisas son verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera. Un argumento es correcto o incorrecto, independientemente de sus interpretaciones. Dicho de otra manera, es correcto si no hay interpretación alguna para la cual las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa. Esta es la definición que hace precisa la idea de razonamiento correcto dada al principio de este trabajo.
Ejemplo:
A) Argumento Correcto con Conclusión Verdadera
Todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3
12 es múltiplo de 6 .:. 12 es múltiplo de 3
B) Argumento Incorrecto con Conclusión Verdadera
Todo número con exactamente dos divisores es primo
4 no tiene exactamente dos .:. 4 no es primo
C) Argumento Correcto con Conclusión Falsa
Todo múltiplo de cuatro es par
5 es múltiplo de 4 .:. 5 es par
D) Argumento Incorrecto con Conclusión Falsa
Todo múltiplo de 6 es par
8 no es múltiplo de 6 .:. 8 no es par
Un argumento es correcto si y solo si la conclusión es consecuencia lógica de las premisas; esto quiere decir que cada interpretación del lenguaje respecto a la cual todas las premisas son verdaderas, la conclusión será necesariamente verdadera. Un argumento es correcto o incorrecto, independientemente de sus interpretaciones. Dicho de otra manera, es correcto si no hay interpretación alguna para la cual las premisas sean todas verdaderas y la conclusión sea falsa. Esta es la definición que hace precisa la idea de razonamiento correcto dada al principio de este trabajo.
Ejemplo:
A) Argumento Correcto con Conclusión Verdadera
Todo múltiplo de 6 es múltiplo de 3
12 es múltiplo de 6 .:. 12 es múltiplo de 3
B) Argumento Incorrecto con Conclusión Verdadera
Todo número con exactamente dos divisores es primo
4 no tiene exactamente dos .:. 4 no es primo
C) Argumento Correcto con Conclusión Falsa
Todo múltiplo de cuatro es par
5 es múltiplo de 4 .:. 5 es par
D) Argumento Incorrecto con Conclusión Falsa
Todo múltiplo de 6 es par
8 no es múltiplo de 6 .:. 8 no es par
Metodos de demostracion
Métodos Indirectos
¨ Por Contraposición
Se aplica siempre a la forma “Si A, entonces B”
¨ Por Reducción al Absurdo
Se parte de No A
¨ Por Contraposición
Se aplica siempre a la forma “Si A, entonces B”
¨ Por Reducción al Absurdo
Se parte de No A
CÁLCULO DE PREDICADOS
Insuficiencia de la lógica de proposiciones en las representaciones de la lógica de sentido común
La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se les representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados.
La lógica de predicados está basada en la idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado.
Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.
Concepto y ejemplos de calculo de predicados.
La lógica de predicados determina los elementos del razonamiento de los pequeños elementos de las proposiciones. Véase la figura No. 18.
Predicado
(org1, org2, ... orgn)
Nombre
del
Predicado
Nombre
del
Argumento
Figura No. 19 Componentes que forman un predicado
Donde el nombre del predicado identifica a la relación que existe entre los argumentos, entre paréntesis o bien identifica a la propiedad o características que tienen los argumentos en el paréntesis, o bien identifica al nombre de la clase a la que pertenecen los argumentos.
Ejemplo
María y Pablo son hermanos
Juana es la madre de María
Tom es un gato
LA suma de 2 y 3 es 5
Por ejemplo, para expresar "Juana es madre de María", se selecciona un identificador, digamos "madre", para expresar el predicado "es la madre", y se escribe madre(Juana,María). Muchos estudiosos de la lógica sólo utilizan letras individuales para los nombres de predicados y de constantes, ejemplo M(j,m).
Los cuatro grupos básicos de identidad
Y Ù
O Ú
No Ø
Implicación(Entonces) Þ
Básicamente los operadores utilizados en el calculo de predicados son los mismos que se utilizan en el calculo proposicional. No obstante, véanse los siguientes ejemplos de utilización de los operadores básicos.
Ejemplos de operadores
CIENTÍFICO(CARLOS_MARX) Ù ALEMAN(CARLOS_MARX) (Y)
Carlos Marx es un científico alemán
CIENCIA(LÓGICA)Ú DISCIPLINA(LÓGICA) (O)
La lógica es ciencia o disciplina
DEPORTE(CICLISMO ) Ù ¬DECONJUNTO(CICLISMO) (No)
El ciclismo no es un deporte de conjunto.
CULTURA(LA_CIENCIA) Þ APOYAR(LA_CIENCIA) (Sí...entonces)
Si la ciencia es cultura entonces debe apoyarse
La declaración de función, variables y cuantificadores
Función
Asumiendo que un conjunto es una determinada colección de entidades, tenemos que entre conjuntos cabe establecer relaciones. Una relación entre dos conjuntos tiene una dirección, va de un conjunto al que llamaremos origen a otro conjunto que llamamos imagen. Para ciertas relaciones el conjunto origen y el conjunto imagen coinciden, son el mismo conjunto. Pues bien, una función es una relación entre dos conjuntos que satisface la condición de que a cada entidad del conjunto origen le corresponde una única entidad del conjunto imagen.
Las entidades del conjunto origen de una función son denominadas "argumentos de la función". Las entidades del conjunto imagen que corresponden a los argumentos de una función son denominados: valores de la función. El conjunto de los argumentos de una función coincide con el conjunto origen de una función. El conjunto de los argumentos de una función también se denomina "dominio de la función" en cuestión. El conjunto de los argumentos de valores o rango de una función no tiene por qué coincidir con el conjunto imagen, pudiendo ser un subconjunto imagen.
En resumen los argumentos pueden ser constantes, variables o a su vez otra función. Los identificadores de funciones los representaremos con letras minúsculas, a continuación un paréntesis izquierdo, luego los argumentos o parámetros separados por comas, si va más de uno y finalizando con un paréntesis derecho.
Ejemplo:
- madre(x): La madre de x, siendo x una variable
- jugo(UVA): Jugo de uva, donde UVA es una constante
- refresco(jugo(NARANJA)): refresco de jugo de naranja
Variables
Las variables son identificadores las cuales representarán un elemento de un conjunto, pero, sin representar uno en específico, como en el caso de las constantes. Sus identificadores los representaremos por medio de cadenas en letras minúsculas. Por ejemplo: guerrillero, fruta, país, asignatura, x, y, z, etc.
Como se podrá verificar el ejemplo anterior, se dará cuenta como es la sintaxis para la utilización de variables en la elaboración de predicados. Chequense estos ejemplos, muy parecidos al anterior.
fruta(x) animal(x) color(x)
Mejor a un, ejemplifiquemos esto como una proposición:
Fruta(x):-colores(color),formas(forma),sabores(dulce).
Donde x, color y forma cumplen la misma función, estas están desempeñando el papel de variables, a excepción de sabores; ya que esta ya no se considera como variable por el hecho de tener un valor definido. Por ende a este tipo de identificadores se les denomina "constantes".
Cuantificadores
En matemáticas, muchas afirmaciones son de la forma "todos los elementos de D (un dominio dado) satisfacen el predicado P(x)" o bien "hay al menos un elemento de D que satisface P(x)".
En el primer caso, abreviaremos usando el símbolo y en el segundo usando el símbolo . Así, si P(x) es un predicado q que depende sólo de x, tenemos:
Si se reemplaza x por cualquier elemento de D, entonces P(x) se hace verdadera.
En D hay al menos un valor tal que, al reemplazar x por dicho valor, la proposición resultante es verdadera.
Los símbolos y son llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente.
Ejemplos del cuantificador universal:
" x OSO(x) Þ ANIMAL(x): Los osos son animales.
" x ANIMAL(x) Þ CEREBRO(cerebro(x)): Todos los animales tienen un cerebro. Para todo x que es un animal implica que el cerebro de x es un CEREBRO.
Ejemplos del cuantificador existencial:
$ x SABROSA(x): Que significará que algo es sabroso o que existe al menos una x tal que x es sabrosa.
$ x DEPORTE(x) Ù DECONJUNTO(x): Algunos deportes son de conjunto.
$ x ELECCIONES(x) Ù Ø LIMPIAS(x): Las elecciones no son limpias.
Variables Ligadas
Cuando un cuantificador es usado sobre la variable x o cuando nosotros asignamos un valor a esta variable, decimos que esta ocurrencia de la variable esta ligada. Una ocurrencia de una variable que no esta ligada por un cuantificador o igualada a un valor particular se dice que es libre. Todas las variables que ocurren en una función proposicional deben estar ligadas para tornarla en una proposición. Esto se puede realizar usando una combinación de cuantificadores universales, existenciales y asignación de valores.
La parte de una expresión lógica para la cual un cuantificador es aplicado es llamado el alcance de este cuantificador. Consecuentemente, una variable es libre si esta fuera del alcance de todos los cuantificadores en la formula que especifican esta variable.
Negaciones
Usualmente deseamos considerar la negación de una expresión cuantificada. Por ejemplo, considere la negación de la declaración: “cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo” o ¥x P (x). Donde P (x) es la declaración “x ha tomado un curso de calculo”.
La negación de esta declaración es:
“no es el caso que cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo” o “hay un estudiante en la clase quien no ha tomado un curso de calculo”.
En esta ultima declaración se ve que es simplemente la cuantificación existencial de la
negación de la función proposicional original. Es decir Ǝx ~ P (x).
Considere la negación de la declaración:
“hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo” o Ǝx P (x). Donde P (x) es la declaración “x ha tomado un curso de calculo”.
La negación de esta declaración es:
“no es el caso que hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo” o “cada estudiante en la clase no ha tomado un curso de calculo”.
En esta ultima declaración se ve que es simplemente la cuantificación universal de la
negación de la función proposicional. Es decir ¥x ~ P (x).
La principal debilidad de la lógica proposicional es su limitada habilidad para expresar conocimiento. Existen varias sentencias complejas que pierden mucho de su significado cuando se les representa en lógica proposicional. Por esto se desarrolló una forma lógica más general, capaz de representar todos los detalles expresados en las sentencias, esta es la lógica de predicados.
La lógica de predicados está basada en la idea de que las sentencias realmente expresan relaciones entre objetos, así como también cualidades y atributos de tales objetos. Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos. Tales cualidades, relaciones o atributos, se denominan predicados. Los objetos se conocen como argumentos o términos del predicado.
Al igual que las proposiciones, los predicados tienen un valor de veracidad, pero a diferencia de las preposiciones, su valor de veracidad, depende de sus términos. Es decir, un predicado puede ser verdadero para un conjunto de términos, pero falso para otro.
Concepto y ejemplos de calculo de predicados.
La lógica de predicados determina los elementos del razonamiento de los pequeños elementos de las proposiciones. Véase la figura No. 18.
Predicado
(org1, org2, ... orgn)
Nombre
del
Predicado
Nombre
del
Argumento
Figura No. 19 Componentes que forman un predicado
Donde el nombre del predicado identifica a la relación que existe entre los argumentos, entre paréntesis o bien identifica a la propiedad o características que tienen los argumentos en el paréntesis, o bien identifica al nombre de la clase a la que pertenecen los argumentos.
Ejemplo
María y Pablo son hermanos
Juana es la madre de María
Tom es un gato
LA suma de 2 y 3 es 5
Por ejemplo, para expresar "Juana es madre de María", se selecciona un identificador, digamos "madre", para expresar el predicado "es la madre", y se escribe madre(Juana,María). Muchos estudiosos de la lógica sólo utilizan letras individuales para los nombres de predicados y de constantes, ejemplo M(j,m).
Los cuatro grupos básicos de identidad
Y Ù
O Ú
No Ø
Implicación(Entonces) Þ
Básicamente los operadores utilizados en el calculo de predicados son los mismos que se utilizan en el calculo proposicional. No obstante, véanse los siguientes ejemplos de utilización de los operadores básicos.
Ejemplos de operadores
CIENTÍFICO(CARLOS_MARX) Ù ALEMAN(CARLOS_MARX) (Y)
Carlos Marx es un científico alemán
CIENCIA(LÓGICA)Ú DISCIPLINA(LÓGICA) (O)
La lógica es ciencia o disciplina
DEPORTE(CICLISMO ) Ù ¬DECONJUNTO(CICLISMO) (No)
El ciclismo no es un deporte de conjunto.
CULTURA(LA_CIENCIA) Þ APOYAR(LA_CIENCIA) (Sí...entonces)
Si la ciencia es cultura entonces debe apoyarse
La declaración de función, variables y cuantificadores
Función
Asumiendo que un conjunto es una determinada colección de entidades, tenemos que entre conjuntos cabe establecer relaciones. Una relación entre dos conjuntos tiene una dirección, va de un conjunto al que llamaremos origen a otro conjunto que llamamos imagen. Para ciertas relaciones el conjunto origen y el conjunto imagen coinciden, son el mismo conjunto. Pues bien, una función es una relación entre dos conjuntos que satisface la condición de que a cada entidad del conjunto origen le corresponde una única entidad del conjunto imagen.
Las entidades del conjunto origen de una función son denominadas "argumentos de la función". Las entidades del conjunto imagen que corresponden a los argumentos de una función son denominados: valores de la función. El conjunto de los argumentos de una función coincide con el conjunto origen de una función. El conjunto de los argumentos de una función también se denomina "dominio de la función" en cuestión. El conjunto de los argumentos de valores o rango de una función no tiene por qué coincidir con el conjunto imagen, pudiendo ser un subconjunto imagen.
En resumen los argumentos pueden ser constantes, variables o a su vez otra función. Los identificadores de funciones los representaremos con letras minúsculas, a continuación un paréntesis izquierdo, luego los argumentos o parámetros separados por comas, si va más de uno y finalizando con un paréntesis derecho.
Ejemplo:
- madre(x): La madre de x, siendo x una variable
- jugo(UVA): Jugo de uva, donde UVA es una constante
- refresco(jugo(NARANJA)): refresco de jugo de naranja
Variables
Las variables son identificadores las cuales representarán un elemento de un conjunto, pero, sin representar uno en específico, como en el caso de las constantes. Sus identificadores los representaremos por medio de cadenas en letras minúsculas. Por ejemplo: guerrillero, fruta, país, asignatura, x, y, z, etc.
Como se podrá verificar el ejemplo anterior, se dará cuenta como es la sintaxis para la utilización de variables en la elaboración de predicados. Chequense estos ejemplos, muy parecidos al anterior.
fruta(x) animal(x) color(x)
Mejor a un, ejemplifiquemos esto como una proposición:
Fruta(x):-colores(color),formas(forma),sabores(dulce).
Donde x, color y forma cumplen la misma función, estas están desempeñando el papel de variables, a excepción de sabores; ya que esta ya no se considera como variable por el hecho de tener un valor definido. Por ende a este tipo de identificadores se les denomina "constantes".
Cuantificadores
En matemáticas, muchas afirmaciones son de la forma "todos los elementos de D (un dominio dado) satisfacen el predicado P(x)" o bien "hay al menos un elemento de D que satisface P(x)".
En el primer caso, abreviaremos usando el símbolo y en el segundo usando el símbolo . Así, si P(x) es un predicado q que depende sólo de x, tenemos:
Si se reemplaza x por cualquier elemento de D, entonces P(x) se hace verdadera.
En D hay al menos un valor tal que, al reemplazar x por dicho valor, la proposición resultante es verdadera.
Los símbolos y son llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente.
Ejemplos del cuantificador universal:
" x OSO(x) Þ ANIMAL(x): Los osos son animales.
" x ANIMAL(x) Þ CEREBRO(cerebro(x)): Todos los animales tienen un cerebro. Para todo x que es un animal implica que el cerebro de x es un CEREBRO.
Ejemplos del cuantificador existencial:
$ x SABROSA(x): Que significará que algo es sabroso o que existe al menos una x tal que x es sabrosa.
$ x DEPORTE(x) Ù DECONJUNTO(x): Algunos deportes son de conjunto.
$ x ELECCIONES(x) Ù Ø LIMPIAS(x): Las elecciones no son limpias.
Variables Ligadas
Cuando un cuantificador es usado sobre la variable x o cuando nosotros asignamos un valor a esta variable, decimos que esta ocurrencia de la variable esta ligada. Una ocurrencia de una variable que no esta ligada por un cuantificador o igualada a un valor particular se dice que es libre. Todas las variables que ocurren en una función proposicional deben estar ligadas para tornarla en una proposición. Esto se puede realizar usando una combinación de cuantificadores universales, existenciales y asignación de valores.
La parte de una expresión lógica para la cual un cuantificador es aplicado es llamado el alcance de este cuantificador. Consecuentemente, una variable es libre si esta fuera del alcance de todos los cuantificadores en la formula que especifican esta variable.
Negaciones
Usualmente deseamos considerar la negación de una expresión cuantificada. Por ejemplo, considere la negación de la declaración: “cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo” o ¥x P (x). Donde P (x) es la declaración “x ha tomado un curso de calculo”.
La negación de esta declaración es:
“no es el caso que cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo” o “hay un estudiante en la clase quien no ha tomado un curso de calculo”.
En esta ultima declaración se ve que es simplemente la cuantificación existencial de la
negación de la función proposicional original. Es decir Ǝx ~ P (x).
Considere la negación de la declaración:
“hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo” o Ǝx P (x). Donde P (x) es la declaración “x ha tomado un curso de calculo”.
La negación de esta declaración es:
“no es el caso que hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo” o “cada estudiante en la clase no ha tomado un curso de calculo”.
En esta ultima declaración se ve que es simplemente la cuantificación universal de la
negación de la función proposicional. Es decir ¥x ~ P (x).
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